前沿 | 基于相空间优化的三维计算全息技术、基于相空间优化的计算全息三维衍射场重建

研究背景

      自Gabor在1948年发明全息术以来，这项技术因其可以复现三维光场的全部信息而备受关注。1966年，Brown和Lohmann发明了计算全息技术，使得全息图可以在计算机中通过算法生成，将这项技术的应用范围极大地拓展。发展至今，计算全息技术由于可以灵活地调制三维衍射场的波前信息，因此在光场调控、三维显示、微纳加工以及超表面光学等领域发挥了重要的作用。

      迭代优化方法是生成高质量全息图的重要方法，1972年，Gerchberg和Saxton提出了著名的GS算法，其通过全息图和重建平面之间的迭代计算实现全息图的优化，并广泛应用于全息图和衍射光学元件的优化。随着全息图迭代优化技术的不断发展，近期也发展出了基于梯度下降的优化算法，用于解决光路缺陷带来的光学噪声的相机闭环反馈算法，以及基于深度学习的算法。对于上述算法来说，其正向模型中对三维衍射场的强度分布采样至关重要，不合理的采样会在反复迭代中引入并且累积噪声，仿真计算和光学实验的不一致。因此，建立符合物理的正向模型是保证全息图的光学重建质量的前提，其关键是根据三维衍射场的强度带宽分析来设置离散衍射计算的采样参数，从而保证仿真计算与光学实验的物理参数匹配。

导读

      清华大学张浩教授课题组于2024年10月22日在 PhotoniX 最新发表了题为“Three-dimensional computer holography with phase space tailoring”的研究论文。本文针对大纵深连续三维衍射场的强度采样问题，提出了一种基于相空间裁剪的三维计算全息优化框架。相空间裁剪方法基于三维衍射场的横向和轴向空频特性，实现了大深度范围三维衍射场强度分布的准确采样，并通过基于物理信息的损失函数构建实现了高质量三维计算全息图的综合优化。所提方法可以有效解决计算全息图迭代优化过程中由于相位奇点所导致的涡旋停滞问题，从而可以从本质上抑制三维衍射场中的散斑噪声。本文通过仿真和光学实验证明，对于许多现有迭代优化算法，比如基于梯度的方法、相机闭环反馈算法以及深度学习算法等，相空间裁剪方法均可以有效提升其光学重建效果，并且在确定算法参数方面提供指导。

主要研究内容

      相空间图是Wigner分布函数的图形化表示，如图1所示，图中有颜色的部分代表Wigner分布函数显著大于0的区域。使用Wigner分布函数或者相空间图，可以对信号进行升维分析。通常情况下人们在对信号进行分析的时候，往往单独考虑空域（时域）或者空间频率域（时间频率域），而并不会考虑空间中的某一个位置对应的局部空间频率特性，亦或是频谱中的某一个频率点对应分布在空间中的哪些位置。但是相空间图将两者联系了起来，相空间图的横坐标为空间位置，纵坐标为空间频率分布，使用相空间图，可以清楚地知道空间中每一点的局部空间频率，帮助我们更好地确定采样参数。

      在迭代优化过程中，三维衍射场的强度分布是一个非常重要的优化变量，所以对于强度场进行合理采样才能保证优化结果的有效性。在相空间分析中，垂直光轴平面的强度场的相空间图可以通过对垂直光轴平面的复振幅场的相空间图延频率轴进行自相关得到，如图1(c)所示。由于自相关操作，我们很容易得到垂直光轴平面的强度场的局部带宽是相应的复振幅场的带宽的两倍。而延光轴方向的强度的相空间图则可以通过Ewald球计算得到，如图1(d)所示。

技术突破与创新

      对于三维衍射场的相空间分析告诉我们，在垂直光轴方向上，传统衍射算法的采样参数所能正确采样的范围正好等于复振幅的带宽，而强度场的带宽超过了采样上限一倍。为了解决这个问题，一个简单的方法是在空间频率域对三维衍射场进行滤波，从而限制三维衍射场的带宽到原来的一半，如图2(b)所示。然而，这种截断必然带来信息的损失进而影响重建三维场的质量，所以，需要进一步通过优化计算使得重建三维场的质量满足要求。

      这种通过滤波的方式控制三维衍射场强度的频谱分布，进而修改相空间图的形状的方法，被称为相空间裁剪方法。在强度场的优化过程中，相空间裁剪方法可以提供合理的采样资源，然而，优化过程仍然伴随着涡旋相位导致的优化停滞问题。为了解决这个问题，本文提出了一种基于涡旋相位物理结构的涡旋相位正则化项。传统的涡旋相位检测方法无法求导，难以与现有梯度下降方法结合，为了解决这个问题，本文使用了随机相位梯度正则化项，通过将涡旋相位检测的环路积分随机断路的方式实现涡旋相位检测，并且使得该过程可微。

      图3(a)展示了本文所提出的相空间裁剪方法对于全息图优化效果的提升作用；图3(b)以及图3(c)展示了涡旋相位正则化项对于涡旋相位的剔除作用。相空间裁剪方法可以与许多目前最先进的全息图优化方法结合，并且提升它们的效果相机闭环反馈方法，以及深度学习方法。图3(d)展示了，通过在相机闭环反馈方法的光路中加入4f系统滤波，并且按照相空间裁剪方法设置滤波器的大小，可以有效提升算法的效果。图4展示了结合相空间裁剪以及深度学习方法，可以获得优异的全息图光学重建结果。

观点评述

      在本工作中，作者提出了一种基于相空间裁剪的三维计算全息优化框架，用于实现高质量的计算全息光学重建。在优化算法损失函数的构建中，通过基于随机相位梯度算法的涡旋剔除设计，可以有效解决迭代优化过程中由于相位奇点所导致的涡旋停滞问题，从而获得了高质量的三维衍射场光学重建。作者通过光学实验证明了所提方法可以和现有优化方法结合，有效地提升现有方法的光学重建效果。这种基于相空间裁剪的三维光场优化框架也可以用于训练神经网络，以实现实时三维光场调控。该方法在全息显示、光场调控以及激光微纳加工等基于三维衍射场优化的领域具有广泛的应用前景。